réciproque

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Pour les trois figures, les droites d et d’ sont sécantes en A. Les points B et M sont des points de d, distincts de A et les points C et N sont des points de d’, distincts de A. (réponses au survol de la souris)

récipriquethales2
\frac{AM}{AB}=  2/5 = 0,4              \frac{AN}{AC}= 2/5 = 0,4  \frac{AM}{AB}= 2/5 = 0,4               \frac{AN}{AC}= 2/5 = 0,4   \frac{AM}{AB}= 3/5 = 0,6              \frac{AN}{AC}= 3/5 = 0,6
     (MN) et (BC) sont parallèles       (MN) et (BC) sont sécantes       (MN) et (BC) sont parallèles

On pourrait donc affirmer que l’énoncé suivant est vrai :

” d et d’ sont deux droites sécantes en A. les points B et M sont des points  de d distincts de A et les points C et N sont des points de d’ distincts de A.
                                 Si  \frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC}  alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. ”

mais en fait, cela n’est pas correct, car en examinant la deuxième figure, constate que l’on a bien \frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC} et pourtant les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles !

Il faut une condition supplémentaire : que les points A, M, B et A, N, C soient rangés dans le même ordre !! En effet dans la deuxième figure, on constate que ce n’est pas le cas : pour aller de A à M, on monte, puis pour rejoindre B on redescend. Or pour aller de A à N puis de N à C , on descend à chaque fois !

l’énoncé correct est donc le suivant :

Réciproque de théorème de Thalèsfigurethéorèmeréciproquethales

  • Soient d et d’ deux droites sécantes en A
  • B et M sont des points de d, distincts de A
  • C et N sont des points de d’, distincts de A

 Si  \frac{AM}{AB}= \frac{AN}{AC}   et si les points A, M, B et A, N, C sont rangés dans le même ordre 

alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles

On peut prouver, à l’aide de cette réciproque,  que des droites sont parallèles.
Vous êtes maintenant prêts pour les exercices !

 

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