théorème direct

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Une expérience : dans les deux cas, les deux triangles ABC et A’B’C’ ont au moins un angle de même mesure. Bouge les points violets. Que constate-tu ?

On constate que, dans le cas où les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles, les quotients des longueurs des côtés des triangles OA’B’ par les longueurs des côtés du triangle OAB sont égaux ! cela signifie que les longueurs des côtés du triangle AOB sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle OAB (voir le cours sur la proportionnalité).

 
C'est le théorème de Thalès:

Soient 2 sécantes (OA) et (OB), A' sur (OA), B' sur (OB).

Si (AB) // (A'B') alors :

  \frac{OA'}{0A}=\frac{OB'}{OB}=\frac{A'B'}{AB}
 

Ce théorème sert notamment à calculer des longueurs, et donc  de grandes hauteurs ! mesurer une hauteur avec le théorème de Thalès

Une application pratique du théorème de Thalès:

On peut mesurer la hauteur de grands édifices: sur le dessin ci-dessus, l’élève en rose se déplace de manière à ce que le sommet  du bâton (dont la longueur est connue) soit aligné avec l’oeil O de l’élève en bleu et le sommet du clocher B’. On a ainsi une configuration de Thalès: en effet le bâton [AB] et le segment [A’B’] sont perpendiculaires au sol, donc ces deux segments sont parallèles entre eux car si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite (ici le sol (OA’)) alors ces deux droites sont parallèles ! Et si on mesure, avec un décamètre par exemple, les longueurs OA et OA’, on peut alors déterminer grâce au théorème de Thalès, la hauteur A’B’ de l’église !!

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L’énoncé du Théorème de Thalès et un exemple

 

Ici un lien pour une démonstration

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